矩阵等价的充要条件是矩阵类型相同且秩相等。相似一定是等价的，等价不一定是相似的。两个矩阵等价，秩相等，列向量和行向量具有相同数量的线性独立组。
等价矩阵的性质
1.矩阵A和A等价（自反性）；
2、矩阵A和B等价，则B和A也等价（equivalence）；
3、矩阵A和B等价，矩阵B和C等价，则A和C等价（传递）；
4、矩阵A和B等价，则IAI=KIBI。 （K 是一个非零常数）
5.行等价矩阵对应的线性方程组同解
6. 对于两个大小相同的矩形矩阵，它们的等价性还可以用下列条件来表征： (1) 矩阵可以通过基本的行和列运算相互转化。 (2) 两个矩阵等价当且仅当它们具有相同的秩。
从两个矩阵的等价性可以推导出什么？
根据矩阵等价的充分必要条件，两个矩阵具有相同的秩。可见，n阶方阵A与单位方阵E等价的充要条件为：A秩=Erank=n。
也就是说A可以通过有限初等变换得到E，且|E|=1。由行列式初等变换原理可知，必有非零数k，使得|A|=k |E|不等于 0，所以 |A|不等于0是A和E等价的充分必要条件。
我们可以推断出两个矩阵是等价的：
1、它们的行数和列数相同；
2、他们的职级相同；
3、它们是同一个标准矩阵 Equivalent；
4、如果是同阶方阵，则它们对应的行列式同时等于0或不等于0；
5.其中一个矩阵可以通过矩阵的有限初等变换从其中一个矩阵得到。
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